ДЕНЬ РОССИИ
Есть ли противоречие в арифметике?
14:57, 6 октября 2019



Если вы читаете эти строки, вы изучали арифметику в школе. Вы наверняка умеете складывать числа, вычитать, умножать, и даже делить. 


Возможно, вы даже сталкивались с геометрией, где надо было доказывать равенство длин и параллельность прямых.


Как бы то ни было, геометрия известна своими аксиомами и методом доказательств, выводом новых фактов из известных. Аксиомами должны быть "самоочевидные" утверждения. Евклид сформулировал пять постулатов. О них я напишу в другой раз. Пока что разберёмся с арифметикой.



Джузеппе Пеано


В 1889 году итальянский математик и философ Джузеппе Пеано опубликовал предложенные им аксиомы для арифметики. Она формализует два основных момента: есть натуральное число, единица, и есть в натуральных числах порядок, кто за кем следует. Двойка следует за единицей, тройка за двойкой, и т.д. Туда же входят и менее очевидные утверждения, например, "аксиома индукции".


Что же это изменило в науке? На самом деле, мало что. То, что в геометрии казалось великим достижением, в арифметике оказалось игрушкой. Или же нет?


Одной из проблем, волновавших учёных (иногда), было то, а не противоречат ли эти аксиомы одна другой. А то мало ли какую химеру ввели в этот мир? Противоречие означает, что из аксиом можно вывести как утверждение, так и его отрицание. Если есть противоречие, то можно вывести, что 2*2=5, 2*2=6, 2*2 = 1 и т.д. Если нет - то всё остаётся так, как мы привыкли. 


Конец XIX и начало XX века было временем, болезненным для науки. Именно в это время появились теория относительности и квантовая физика, которые перечеркнули надежды на то, что весь мир можно представить как огромный часовой механизм. На умы математиков эта ситуация тоже подействовала, и у них появилась потребность в прочной опоре метода аксиом и доказательств.


В то время практически для всех разделов математики было доказано, что они непротиворечивы, в том числе и геометрия, но везде предполагалась непротиворечивость арифметики. Так, шаг за шагом, Сизиф-математик поднимается со своим грузом к вершине, где его ждут блага Олимпа. И, как это часто бывает, история с оформлением математики как опоры для....всего, что умеет думать, заканчивается, когда великое открытие стояло у порога и стучалось. 



Курт Гёдель


В 1931 году Курт Гёдель, известный австрийский математик, опубликовал свои теоремы о неполноте. В них он провёл тонкие рассуждения. Из них следует, что, во-первых, непротиворечивость арифметики есть теорема арифметики Пеано. Это значит, что наука о числах может "рассуждать" о себе в целом, что можно выписать некое уравнение, решения которого могут что-то сказать о том, является ли арифметика непротиворечивой. Видел ли кто это уравнение своими глазами - дело десятое, когда математик рассуждает о высоких материях. Получается, даже арифметика может скрывать такие вот странные вещи. Но есть и вторая часть. Проблема непротиворечивости, которая арифметикой осознаётся, не может быть ею же решена, если арифметика на самом деле непорочна. Язык арифметики оказывается достаточно сложным, чтобы рассуждать о себе, но следующий шаг, довести рассуждения до конца, не в силах. В итоге вопрос о непротиворечивости "повис в воздухе". Скажу больше. Если вы ДОКАЖЕТЕ эту непротиворечивость, то это приведёт к ПРОТИВОРЕЧИЮ в самых основах науки. 


Перечитайте предыдущий абзац, если его не поняли до конца.


Теоремы Гёделя были одним из гениальнейших открытий математики XX века. Они интерпретировались философами всех мастей, зачастую, с искажениями самой формулировки. Действительно, как интересно получается. В попытках перевести весь мир в цифру, подогнать его под человеческие мерки, вышли как совершенно не интерпретируемая на человеческом языке физика, так и математика, анонсировавшая себя как абсолютную опору в научных рассуждениях, в итоге не смогла выполнить обещанную программу.


Возможно, вы станете задумываться над тем, что математика бесполезна. Как бы не так! Странно, но она работает. Несмотря на свою неполноценность. Вот я пишу, а компьютер, построенный по математическим моделям, выводит буквы на экран. Скорее, теоремы Гёделя - это о том, что рациональное мышление не всесильно, и не всё поддаётся расчёту. Но многое. Так что те люди, которым нужна была математика для самолётов, не забивали себе голову достижениями логики. И правильно делали. В конце концов, мозги Гёделя не выдержали этого. Из-за появившегося недостатка фундамента, на котором можно стоять, он стал подозревать всё окружение в попытках его убить, включая свой холодильник.


https://zen.yandex.ru/media/id/5d7bcbbb95aa9f3dea0a64de/est-li-protivorechie-v-arifmetike-5d8b2b11d4f07a00ae4d1f86

Комментарии